هندسة للمتفوقين : تمرين (1)

أثبت أن أصغر متوسطات المثلث هو الذى ينصف أكبر أضلاعه 

نفرض أن الضلع ب ج هو الضلع الأكبر

ومنتصفات الأضلاع كما بالشكل : أ د ، ب هـ ، ج و

باستخدام نظرية أبولونيوس :

2*(أ د)^2 = (أ ب)^2 + (أ ج)^2 - 1/2*(ب ج)^2
2*(ب هـ)^2 = (أ ب)^2 + (ب ج)^2 - 1/2*(أ ج)^2
2*(ج و)^2 = (أ ج)^2 + (ب ج)^2 - 1/2*(أ ب)^2

(ب هـ)^2 - (أ د)^2 = 3/2*[(ب ج)^2 - (أ ج)^2]

وحيث ب ج > أ ج 
[(ب هـ)^2 - (أ د)^2] > 0
أ د < ب هـ

(ج و)^2 - (أ د)^2 = 3/2*[(ب ج)^2 - (أ ب)^2]

وحيث ب ج > أ ب
(ج و)^2 - (أ د)^2 > 0
أ د < ج و